Могут ли упражнения повредить позвоночник и нарушить работу внутренних органов

Маловероятно.
Нужно исключить более распространенные причины и точно определить состояние мочевыводящих путей:
анализы, УЗИ, детальный расспрос и осмотр..

Общий анализ мочи - эритроциты 50 через неделю 25. Бактерии - один плюс, через неделю два плюса. Солей нет. Лейкоцитов нет. Это на фоне приема антибиотиков (фурагин, а сейчас норфлоксацин). Вечером поднимается температура 37-37.2. По-прежнему часто бегаю в туалет. Но ничего не болит. Болею уже почти месяц. Что дальше предпринимать?

Поменять уролога..

Буду очень благодарна, если посоветуете хорошего. Я уже у двух была. Кстати прочитав хорошие рекомендации о них на этом сайте. Фамилии тактично указывать не буду.

Пока никто на ум не приходит, но я поспрашиваю у коллег...

"Могут ли упражнения повредить позвоночник и нарушить работу внутренних органов?"
Отвечу утвердительно.
- по взаимосвязи позвоночника и внутренних органов смотрите в поисковиках раздел "вегетативная нервная система".

"скручивания тела"
"из положения лежа на спине забрасываю ноги за голову и касаюсь ими пола"

Это не то что надо.
Все упражнения, входящие в комплекс ЛФК при сколиозе, должны выполняться в определенном корригирующем положении, которое подбирает врач-ортопед или инструктор ЛФК, в зависимости от вида и локализации дуги позвоночника (S-образный, грудной и поясничный).
Если упражнения будут выполняться правильно, в соответствии с рекомендациями, то лечебная гимнастика будет способствовать компенсации искривления и развития мышц в нужном направлении.
- ЛФК (упражнения) при сколиозе читайте «Учебникъ массажа и шведской врачебной гимнастики», автор Елизавета Николаевна Залесова
дополнительно к ЛФК : ручной и подводный массаж (2-3 раза в год) и плавание в бассейне (не менее 3 раз в неделю). Это программа минимум.

"Но неделю назад внезапно появилось учащенное мочеиспускание.."
"Общий анализ мочи - эритроциты 50 через неделю 25. Бактерии - один плюс, через неделю два плюса.
Вечером поднимается температура 37-37.2."

В вашем случае Сергей Васильевич прав, скорее всего речь идет о воспалительном заболевании мочевыводящих путей.
Попадание болезнетворных микробов в мочевой пузырь (цистит) женщин происходит из-за особенностей анатомического строения (смотри рисунок).
Самый частый возбудитель болезни – кишечная палочка (90%). Однако в этой роли могут выступать и другие микроорганизмы.

Цистит у женщин. Профилактика и лечение цистита (видео)
д.м.н., профессор кафедры урологии Российской медицинской академии последипломного образования (РМАПО МЗ СР РФ) Евгений Ибадович Велиев.
https://www.youtube.com/watch?v=UvhMe6OOEI4

Примечание:
* В борьбе с бактериальной инфекцией и в повышении резистентности организма хорошо зарекомендовали себя лекарственные травяные сборы (фитотерапия), имеющие в своем составе толокнянку, почечный чай, брусничник, василек и другие.
Проконсультируйтесь на этот счет со своим лечащим врачом.